V případě počátečních úloh SODE se můžeme opřít o větu o existenci a jednoznačnosti řešení. I když řešení nemůžeme nalézt přesně (analyticky), víme, že existuje a známe právě jeden bod ze stavového prostoru, kterým prochází. Můžeme tedy (teoreticky) řešení aproximovat s libovolně velkou přesností postupem z tohoto známého bodu.
V případě úloh okrajových neexistije žádný ekvivalent věty o existenci a jednoznačnosti. Navíc ani nemáme žádný z bodů stavového prostoru, kterými řešení prochází určený jednoznačně.
Prezentovaný algoritmus je založen na takzvané metodě střelby. Ta spočívá v dotipování neznámých souřadnic řešení v jedné z okrajových podmínek a v následné minimalizaci vzdálenosti mezi bodem, do kterého se dostaneme integrací z naší tipované počáteční podmínky a známými souřadnicemi bodu, do kterého bychom se dostat měli (okrajová podmínka).
Algoritmus má dvě úrovně, vnitřní a vnější řešič. Vnitřní řešič se stará o integraci řešeného systému, vnější řešič o minimalizaci (nulování) vzdálenosti od požadovaného konečného bodu. Vnější řešič je tedy nějaká metoda schopná řešit soustavu nelineárních rovnic.
Algoritmus je možné nalézt zde. Jako vnitřní řešič je použita metoda Runge-Kutta 4. řádu. Jako řešič vnější potom Newtonova metoda. Dále je možné si stáhnout schéma a popis použitého algoritmu (rukou, pdf).
V případě metody konečných diferencí (a našich kodérských schopností) je nutné odvodit výpočetní schéma pro metodu sítí (FDM) pro případ difuze a reakce v kulové částici katalyzárotu v ruce. Pro konkrétní rovnice je možné nahlédnout do zadání domácího úkolu. Samotné schéma by mělo jít poskládat s pomocí výše uvedené prezentace.
Všimněte si relativní jednoduchosti kódu v porovnání s metodou střelby. To je dáno zejména skutečností, že vlastně všechno to náročné (diskretizace nezávisle proměnné, diferenční náhrady a konstrukce matice soustavy a vektoru pravých stran) jsme provedli už předtím ručně na papír.